累计相加 题解

题目分析

本题要求计算一个由多层累加构成的表达式：

其中 $n$ 由用户输入，且 $1<n\le 100$。例如，当 $n=3$ 时，结果为 $1 + (1+2) + (1+2+3) = 1 + 3 + 6 = 10$。

该问题本质上可以看作连续自然数的“前缀和”再求和，是一道典型的循环累加或数学公式问题。

解题思路

我们给出两种常见的解法：直接循环模拟和数学公式优化。

方法一：循环累加（模拟法）

观察每一项的结构：

• 第 $1$ 项：$1$（即 $1$）
• 第 $2$ 项：$1+2$
• 第 $3$ 项：$1+2+3$
• ……
• 第 $i$ 项：$1+2+\dots+i$

由等差数列求和公式，第 $i$ 项的结果为：

于是整个表达式的值可以写成：

由于 $n \le 100$，直接使用 for 循环累加每一项的值即可。代码非常简单，循环 $n$ 次，每次计算当前的三角数并累加到总和。

方法二：公式推导（优化法，拓展理解）

对于更大的 $n$，我们可以进一步推导出一个闭式公式：

利用平方和公式 $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 和等差数列求和公式 $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$，代入可得：

所以这道题也可以直接用公式 n * (n + 1) * (n + 2) / 6 一次算出结果。两种方法均能在题目给定数据范围内瞬间得出正确答案。

参考代码解释

题目给出的 C++ 参考代码使用的是方法一（循环累加）。为方便阅读，这里展示一份修正了语法笔误后的完整代码：

cpp
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1#include <iostream>
2using namespace std;
3
4int main() {
5    int n = 0;
6    cin >> n;
7    int sum = 0;
8    for (int i = 1; i <= n; i++) {
9        sum += (i + 1) * i / 2;   // 第 i 项：1+2+...+i 的值
10    }
11    cout << sum << endl;
12    return 0;
13}

代码说明：

• int n = 0; 定义变量 n 并初始化为0，随后用 cin >> n; 读取输入。
• int sum = 0; 定义累加器 sum，用于存储最终结果。
• for (int i = 1; i <= n; i++) 构建循环，i 从 1 递增到 n，代表当前处理的是第 i 项。
• 在循环体中 (i + 1) * i / 2 计算的是 $i(i+1)/2$，即第 $i$ 项的和。因为 i*(i+1) 必定是偶数，所以直接进行整数除法不会产生误差。
• sum += ... 将每一项的值累加到 sum 中。
• 最后输出 sum 即为答案。

小提示：
原参考代码中的 using namespace std; 是笔误，正确的写法应为 using namespace std;（std 前没有空格）。在实际比赛中要格外注意这类拼写问题。

时间复杂度分析

• 循环法：循环执行 $n$ 次，每次计算和累加的时间是常数级，因此时间复杂度为 $O(n)$。对于 $n \le 100$，完全可以在瞬间完成。
• 公式法：直接计算公式 n * (n + 1) * (n + 2) / 6，只需要常数次运算，时间复杂度为 $O(1)$，在 $n$ 非常大时优势更加明显。

本题中 $n$ 最大仅为 100，两种方法都能满足时间与内存限制。

总结

累计相加问题是一道典型的循环求和或公式推导练习题。对于初学者，建议先掌握“循环模拟前缀和再累加”的思路，打好循环结构的基本功；当实力提升后，可以进一步尝试将其转化为闭式公式，从而用 $O(1)$ 的时间解决。这不仅能加深对数列求和的感性和理性认识，也为今后解决更加复杂的累加问题打下基础。